創作数学問題blog

思いついた数学の問題を公開していきます。既存の問題と被っても気にしない。

階乗と極限

$n$ を自然数とし、 $n!$ を十進法で表記したときの末尾の0の数を $a_n$ と書く。
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{n}$ を求めよ。

高校入試で、100!の末尾の0の数を求めさせる問題がありますが、それの大学入試バージョンです。

楔数

異なる3つの素数の積で表される数を楔数という。
$n^5+n^3+n$
が楔数となるような自然数 $n$ をすべて求めよ。

2013,2014,2015が全て楔数なので、楔数は数年前に話題になりました。というわけで、やや時代遅れな問題です（？）

数列の数え上げ

数列 $\{x_i\}_{i=1}^n$ は以下の条件を満たす。
・ $x_1=0.$
・ $i=2,3,\dots,n$ に対し、 $x_i=1-x_{i-1}^2$ または $x_i=-x_{i-1}$ が成り立つ。
(1)このような $\{x_i\}_{i=1}^n$ は何通り存在するか。
(2)このような $\{x_i\}_{i=1}^n$ のうち、 $x_n=0$ であるものは何通り存在するか。
(3)このような $\{x_i\}_{i=1}^n$ のうち、 $\sum_{i=1}^n x_i=0$ を満たすものの個数を $F_n$ とする。
$n\geq3$ に対し、 $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ が成り立つことを示せ。

ただのパズルです。こういう問題も好きです。
(3)の $F_n$ はいわゆるフィボナッチ数列です。

三角錐の体積の最大値

四面体 $OABC$ は、 ${OA=OB=OC=1, AB=BC=CA}$ を満たす。このような四面体 $OABC$ の体積の最大値を求めよ。

これも多くの問題集に載っていそうです。
三脚が作る三角錐の体積を最大化するイメージです。

面積の期待値

1辺の長さが1である立方体の頂点から3個を無作為に選び、それらを頂点とする三角形の面積を $S$ とする。 $S$ の期待値を求めよ。

教科書レベルの問題です。

素数の問題

${p, q}$ を素数とする。 ${p^q+q^p}$ が素数であるならば、その値は17であることを示せ。

難しくはありませんが、結果がシンプルなので気に入っています。